Большое число задач вариационного исчисления содержит дополнительные условия. Экстремум функционала, определяемый при дополнительных условий, называется условным, а если нет дополнительных условий, то безусловным. Дополнительные условия задаются системой неравенств.
Постановка задачи при дополнительных условиях: пусть требуется найти кривые, дающие максимум интегралу.
при наличии дополнительных условий:
система уравнений, которые между собой независимы
Для решения этой задачи применяется метод множителей Лагранжа.
li(x) - множители Лагранжа
Число уравнений Эйлера равно n и имеется m уравнений дополнительных условий (m+n) достаточно, чтобы определить y1,… yn; l1,…, lm
Также имеются уравнения граничных условий. Эти уравнения позволяют определить 2n произвольных постоянных в общем решении уравнения Эйлера. Дополнительные условия могут носить характер диф. уравнений. Эта задача называется общей задачей Лагранжа.
В этом случае процедура решения остаётся прежней.
Дополнительные условия могут иметь вид интегральных равенств:
li - постоянные
Эта задача сводиться к предыдущей введением новых дополнительных координат.
Процедура введения множителей Лагранжа упрощается, т.к. li=const
Более общей постановкой задачи значение x0 и x1 не фиксируются, но требуется, чтобы они находились на определённых линиях либо поверхностях.
АСВ - искомая экстремаль
Решения вариационных задач часто достигается при расширении класса дополнительных функций, например, за счёт кусочно-гладких функций. В этом случае рассматриваются дополнительные условия Эрмана-Вайеристрасса.
Задача усложняется, если решением является функция с конечным числом точек разрыва первого рода. Особенно, если число точек заранее неизвестно.
Существует прямой метод вариационных исчислений (метод Ритца):
ai - постоянные коэффициенты
Рi(x) - выбранные функции
Особенности задач теории оптимальных систем:
1) в функционале, в уравнениях объекта и в условиях ограничений присутствуют координаты объекта ai и управляющее воздействие;
2) ограничение обычно имеет форму неравенств, вектор U может находиться и на границах дополнительной для него области;
3) решением оптимальной задачи часто является кусочно-направленные функции Uj(t) с конечным числом точек разрыва первого рода, но не определено в какие моменты времени происходят скачки.
Другие статьи по теме
Исследование эффективности и путей совершенствования алгоритмов регулирования мощности в системах сотовой связи различных стандартов Влияние технологий мобильной̆ связи на нашу жизнь переоценить невозможно. Мобильная связь рассматривается в настоящее время как необходимость, а технологии мобильной̆ свя ...
Кодек сигнала моноадресной системы Для представления видеопотока в цифровом виде пришлось решить немало проблем. Большие сложности составила проблема совместимости с существующими аналоговыми форматами (PAL, SECAM, NTSC). ...
История развития пожарной автоматики В современном обществе огромное внимание уделяется созданию систем пожарной безопасности объектов, которые предназначены для защиты жизни людей и материальных ценностей от огня. Ведь опа ...