Таким образом методы пошагового регрессионного анализа позволяют избежать столь громоздких расчетов и получить достаточно надежную и полную модель зависимости исследуемого признака от ряда объясняющих переменных.
Как было сказано выше, основой многошагового регрессионного анализа является построение уравнения регрессии. Рассмотрим более подробно его систему и основные понятия.
В общем виде многомерная линейная регрессионная модель зависимости y от объясняющих переменных ,
,…,
имеет вид:
(3.12)
Для оценки неизвестных параметров взята случайная выборка объема n из (k+1)-мерной случайной величины (y,
,
,…,
).
В матричной форме модель имеет вид:
(3.13)
где ,
,
, ε=
(3.14)
вектор-столбец фактических значений зависимой переменной размерности n;
матрица значений объясняющих переменных размерности n*(k+1);
вектор-столбец неизвестных параметров, подлежащих оценке, размерности (k+1);
вектор-столбец случайных ошибок размерности n с математическим ожиданием ME=0 и ковариационной матрицей
(3.15)
соответственно, при этом
-единичная матрица размерности (nxn).
Оценки неизвестных параметров находятся методом наименьших квадратов, минимизируя скалярную сумму квадратов
по компонентам вектора β.
Далее подставив выражение
(3.16)
в
получаем скалярную сумму квадратов
Условием обращения полученной суммы в минимум является система нормальных уравнений:
, (j=0,1,2,…,k).
В результате дифференцирования получается:
.
При замене вектора неизвестных параметров β на оценки, полученные методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение:
. (3.17)
Далее умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим
(3.18)
Так как , тогда
.
Полученные оценки вектора b являются не смещенными и эффективными.
Ковариационная матрица вектора b имеет вид:
где - остаточная дисперсия.
Элементы главной диагонали этой матрицы представляют собой дисперсии вектора оценок b. Остальные элементы являются значениями коэффициентов ковариации:
, (3.19) где
,
.
Таким образом, оценка - это линейная функция от зависимой переменной. Она имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
и дисперсией Перейти на страницу: 2 3 4 5 6 7 8 9
Другие статьи по теме
Выбор и расчёт трассы прокладки волоконно-оптического кабеля В современном информационном мире каждые пять лет объём передаваемой информации увеличивается вдвое, соответственно, встаёт задача передачи большого количества информации с максимальной ...
Цифровой аудио сигма-дельта модулятор 1. На уровне идеальных макромоделей интеграторов и компаратора проверить справедливость значений коэффициентов перед интеграторами, приведенных в статье. Проверкой является рабо ...
Графен в электронике сегодня и завтра Графен был экспериментально обнаружен в 2004 г. двумя английскими учеными российского происхождения - Андреем Геймом и Константином Новосёловым, за что они вскоре получили Нобелевскую п ...